Logaritme lost de exponent in een machtvergelijking op: x =\ {}^b \log{a} \Rightarrow b^x = a
- gewone logaritme: b = 10, wordt niet geschreven: log x = 10log x
- natuurlijke logaritme: b = e (≈ 2,718281828…), wordt geschreven als ln: ln x = elog x
- logaritmen worden alleen van positieve getallen genomen, met positief grondtal
Voorbeelden
\begin{align} {^5}\!\log 25 & = 2 && \text{want} & 5^2 & = 25 \\ {^3}\!\log \frac 1 3 & = \; -1 &&& 3^{-1} & = \frac 1 3 \\ {^2}\!\log 4\sqrt 2 & = 2\frac12 &&& 2^{2\frac 12} & = 4\sqrt 2 \\ {^n}\!\log \frac 1 {\sqrt[3] n} & = \; – \frac 1 3 &&& n^{-\frac 1 3} & = \frac 1 {\sqrt[3] n} \\ {^n}\!\log 1 & = 0 &&& n^0 & = 1 \\ \log 0{,}0001 & = \; -4 &&& 10^{-4} &= 0{,}0001 \\ \ln \sqrt e & = \frac 1 2 &&& e^{\frac 1 2} & = \sqrt e \\ \ln 2 & \approx 0{,}693 &&& e^{0{,}693} & \approx 2 \end{align}
Rekenregels:
- logaritme van vermenigvuldiging en deling = optellen en aftrekken van log
- logaritme van macht en wortel = vermenigvuldig en deel log met de exponent
{^b}\!\log{x^n} = n \cdot {^b}\!\log{x}; \ \ \ \ \ {^b}\!\log{\sqrt[n]{x}} = \frac{{^b}\!\log x}{n} - grondtal veranderen:
{^b}\!\log x = \frac{\log x}{\log b} = \frac{\ln x}{\ln b} = \frac{{^B}\!\log x}{{^B}\!\log b}.
Voorbeeld:
\log{\frac{3x\sqrt{y}}{z^4}} = \log{3} + \log{x} + \frac{1}{2}\log{y} \; – 4 \log{z} \ \ \ \text{(geldt voor elk grondtal)}.